傅里叶变换和傅里叶级数是有史以来最深刻的数学发现之一。它们帮助我们将功能分解为基本成分。它们揭示了任何数学函数的基本块，它们使我们能够使用这些块来更好地理解和操作它们。但傅里叶级数和傅里叶变换背后的思想到底是什么，这些“基本成分”是什么？
基本理念
傅里叶级数和傅里叶变换背后的直觉是相同的：
任何函数都可以写成正弦函数之和。
一个如此简单但极其深刻的想法。
我们都在高中时被教导什么是余弦和正弦。他们将直角三角形的角度与两条边长的比率联系起来。理解它们的另一种方式是，余弦和正弦分别是绕单位圆移动的点的 x 和 y 坐标。它们是人们能想到的最简单的周期函数之一。
由这两个函数组成的一种总和可以表示任何数学函数，这一事实至少令人瞠目结舌。
但是傅里叶级数和傅里叶变换之间有什么区别呢？
傅立叶级数与傅立叶变换的区别在于，前者用于将周期函数分解为正弦和余弦之和，而后者用于非周期函数。
现在让我们看看两者各自是如何实现这一目标的。
傅里叶级数
正如我们所说，傅里叶级数用于周期函数。快速提醒一下，如果满足以下条件，则函数 f(t) 被称为周期函数，其基本周期为 T：
f(t – T) = f(t) = f(t + T) 对于所有 t。
简单来说，这意味着函数以长度为 T 的规则间隔重复其值。
最后，我们将该周期函数的基频定义为 1/T，即基频周期的倒数。如果周期告诉我们函数重复自身的频率，那么频率就会告诉我们每单位时间（或函数所依赖的任何其他单位）有多少次重复。
我们现在拥有定义傅里叶级数所需的一切。
傅里叶级数是正弦函数的无限加权和，每个正弦函数的频率都是原始周期函数 (1/T) 基频的整数倍。
傅里叶级数的公式如下：
起初看起来有点复杂，所以让我们分解一下。
分解
我们从基本周期为 T 的周期函数 g(t) 开始。然后，我们将其表示为两个无限和。一个是余弦之和，而另一个是正弦之和。这两个和都是加权的，这仅仅意味着它们所包含的每个余弦和正弦都有一个系数。在我们的例子中，这些系数分别由符号α和b表示。下标字母m和n是总和的计数变量。因此，例如，当m变为 1、2、3 等时，每个余弦的系数从 α1 变为 α2，依此类推。
最后，在三角函数内部——余弦和正弦的另一个名称——我们找到自变量 t，它也是初始函数 g(t) 的自变量，常量 2π 是出于与对称性相关的原因而存在的：对本文不重要，分母中的基本周期 T。您可能已经注意到，我们可以将上述公式中的比率 1/T 替换为基频 f，从而完全避免使用分数。
我们在三角函数中遇到的最后一个符号是每个和的计数变量，m表示余弦，n表示正弦。它的存在实现的是无限和中的每个余弦和正弦将具有不同的频率。然而，这些不是任意频率。它们是初始函数g(t)的频率的多个整数，f = 1/T。频率以这种方式相关的正弦曲线称为谐波相关。
计算系数 α 和 b 的公式如下。我们不会过多地谈论它们，因为它们对我们的理解没有帮助。
我们完成了！您现在知道如何将任何周期函数展开为余弦和正弦之和。
傅立叶级数的替代形式
在我们进入傅立叶变换之前，我想向您介绍一种替代的——但等效的——表示傅立叶级数的方法。这是以下内容：
尽管乍一看它与我们上面讨论的三角函数形式有很大不同，但实际上是等价的。我们所做的只是使用欧拉公式，将余弦和正弦与复指数联系起来，以更简洁的形式重写傅里叶级数。现在，我们只有一个，而不是两个。
傅里叶变换
如果你已经理解了我们所说的关于傅里叶级数的所有内容，那么傅里叶变换将非常简单。这次我们关注非周期函数。傅里叶变换的公式如下：
傅里叶变换的重要性
傅里叶变换的结果是频率的函数。请记住，希腊字母欧米茄“ω”用于表示角频率，它是乘积 2πf 的奇特名称。当初始函数 f(t) 是时间的函数时，傅里叶变换为我们提供了该函数的频率内容。从维基百科盗用一句话：
时间函数的傅里叶变换是频率的复值函数，其幅值（绝对值）表示原始函数中存在的频率量，其参数是基本正弦波在该频率下的相位偏移。傅里叶变换不限于时间函数，原函数的域通常称为时域。
我们可以使用傅里叶逆变换得到初始函数：
分解
让我们将逆傅里叶变换与傅里叶级数进行比较。
首先，我们没有使用余弦和正弦——这会产生两个积分——而是使用复指数以更紧凑的方式表示正弦函数。存在于积分之前的系数 1/2π 用于对称目的。
我们立即注意到的另一件重要事情是，我们现在有一个积分，而不是离散的“sigma”。请记住，积分本身就是求和，唯一的区别是在积分下求和的数量本质上是连续的，而不是离散的。由于初始函数 f(t) 现在是非周期性的，我们需要所有可能的频率——从负无穷大到正无穷大——来表示它。在傅立叶级数的情况下，我们只使用了 T 的整数倍。由于我们没有基本周期 T，现在我们不得不使用它们。
至于复指数的系数，我们得到每个可能频率 ω 的函数的傅里叶变换值。如您所见，傅里叶级数的概念与傅里叶逆变换的概念之间存在明显的一一对应关系。
最后的评论
正如泰勒级数将函数分解为单项式项的无限加权和一样，傅里叶级数和傅里叶变换帮助我们将周期函数表示为正弦曲线的加权和。正弦曲线是性能良好的函数，在数学意义上它们很容易操纵。如果我们知道一个系统——可以是一个带有弹簧的经典系统，一个处理信号的系统或与此相关的任何其他系统——如何响应正弦输入，那么我们可以使用上述想法将任何其他输入表示为正弦输入的总和. 因此，大部分分析已经完成，数学变得容易得多。因此，傅里叶级数和傅里叶变换在电气工程、物理学和生物学等所有科学领域都有大量应用。
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